mboost-dp1
Matematik problem ?
Jeg savner et svar på følgende spørgsmål:
x=0,9999 EDIT: dette tal er periodisk
10x=9,9999 EDIT: Dette tal er også periodisk
10x-x=9,9999-0,9999
9x=9
x=1
Jeg ved godt at dette udsagne er forkert, men hvor i ligger fejlen ? Er der nogle kloge hoveder der kan svare på dette ?
EDIT: Er der nogen der ved hvorfor Newz ikke kan lide når man laver en masse mellemrummer efterfulgt af et _, for at lave et periodisk ?
/Kunisch
x=0,9999 EDIT: dette tal er periodisk
10x=9,9999 EDIT: Dette tal er også periodisk
10x-x=9,9999-0,9999
9x=9
x=1
Jeg ved godt at dette udsagne er forkert, men hvor i ligger fejlen ? Er der nogle kloge hoveder der kan svare på dette ?
EDIT: Er der nogen der ved hvorfor Newz ikke kan lide når man laver en masse mellemrummer efterfulgt af et _, for at lave et periodisk ?
/Kunisch
x=1,9999999... => 10x=19,999999...
10x-x = 9x = 18 => x=2
fordi at 1,99999... ER det samme som 2
efter som der kommer uendeligt mange decimaler på, bliver forskellen op til 2, uendeligt lille, og dermed nul.
udsagnet er ikke forkert, hvis jeg husker min gamle gymnasielærer ret...
10x-x = 9x = 18 => x=2
fordi at 1,99999... ER det samme som 2
efter som der kommer uendeligt mange decimaler på, bliver forskellen op til 2, uendeligt lille, og dermed nul.
udsagnet er ikke forkert, hvis jeg husker min gamle gymnasielærer ret...
ja, så vidt jeg husker er beviset godt nok. Men normalt bliver det vist kun brugt som en del af noget filosofi-undervisning fordi det rent matematisk set er lidt "uldent" :)
Så vidt jeg husker er det vist ovenikøbet nogle helt bestemte regler for hvad man må gøre når man regner med den slags tal...
men vi må hellere få en prof til at give det endelige svar.
Så vidt jeg husker er det vist ovenikøbet nogle helt bestemte regler for hvad man må gøre når man regner med den slags tal...
men vi må hellere få en prof til at give det endelige svar.
#6:
Det kræver vist et argument fra din side, at f(0.999...)=0.
Hvis x != 1 så må der findes en omegn O omkring 1 hvor x ikke tilhører O. Det er ikke muligt at konstruere en sådan omegn for x = 0.999...
f er klart diskontinuert i punktet 1, så det er iøvrigt ikke interessant at betragte lim(f(Sn)) op mod f(lim(Sn))
Det kræver vist et argument fra din side, at f(0.999...)=0.
Hvis x != 1 så må der findes en omegn O omkring 1 hvor x ikke tilhører O. Det er ikke muligt at konstruere en sådan omegn for x = 0.999...
f er klart diskontinuert i punktet 1, så det er iøvrigt ikke interessant at betragte lim(f(Sn)) op mod f(lim(Sn))
'f er klart diskontinuert i punktet 1, så det er iøvrigt ikke interessant at betragte lim(f(Sn)) op mod f(lim(Sn))'
Jeg betragter kun f(lim(Sn)). Så du har ret i at det ikke er interessant at sammenligne de to tilfælde.
Men hvordan kommer du fra det ene tilfælde over i det andet tilfælde? Er det fordi at lim er en funktion man kan sætte hvor man vil?
Jeg betragter kun f(lim(Sn)). Så du har ret i at det ikke er interessant at sammenligne de to tilfælde.
Men hvordan kommer du fra det ene tilfælde over i det andet tilfælde? Er det fordi at lim er en funktion man kan sætte hvor man vil?
Jeg fatter ikke helt hvorfor i begynder med grænseværdier???
At tallet 0.9999... er tæt på 1 er vist klart for enhver, men ligegyldigt hvad i siger, er de to tal ikke ens!!!!
Det er da ren logik at man ved at benytte 0.9999... (periodisk) i en ligning, vil få den første afledet til at være 1! Men at sige at tallet dermed er lig 1, giver da ingen mening!
Jeg vil lige bringe et eksempel:
2/3 X 3 = 2
0.66666 X 3 != 2
0.66667 X 3 != 2
Hvis man tager tallet 2/3 og multiplicere med 3, vil vi efter de simple regneregler få resultatet 2.
Men ligegyldigt hvor mange decimaler, eller hvor man vælger at afrunde brøken skrevet som decimaltal, vil resultatet ALDRIG give 2.
Det vil sige at tallet 0.666... (periodisk) ALDRIG vil kunne skrives som decimaltal, men kun som en brøk!
Jeg ved ikke om eksemplet gjore det tydligere at se, men hvad jeg mener er, at det er logisk at at følgende:
0.999... = 1
er et falsk udsagn!
At tallet 0.9999... er tæt på 1 er vist klart for enhver, men ligegyldigt hvad i siger, er de to tal ikke ens!!!!
Det er da ren logik at man ved at benytte 0.9999... (periodisk) i en ligning, vil få den første afledet til at være 1! Men at sige at tallet dermed er lig 1, giver da ingen mening!
Jeg vil lige bringe et eksempel:
2/3 X 3 = 2
0.66666 X 3 != 2
0.66667 X 3 != 2
Hvis man tager tallet 2/3 og multiplicere med 3, vil vi efter de simple regneregler få resultatet 2.
Men ligegyldigt hvor mange decimaler, eller hvor man vælger at afrunde brøken skrevet som decimaltal, vil resultatet ALDRIG give 2.
Det vil sige at tallet 0.666... (periodisk) ALDRIG vil kunne skrives som decimaltal, men kun som en brøk!
Jeg ved ikke om eksemplet gjore det tydligere at se, men hvad jeg mener er, at det er logisk at at følgende:
0.999... = 1
er et falsk udsagn!
Tjeah, hvis det nu kun præcis "0.9999" og ikke 0.9999.... der menes, så er fejlen vel at du har skrevet "10x-x=9,9999-0,9999"
I så fald er det jo simpelt:
10x-x=9,999-0,9999
9x=8,9991
I så fald er det jo simpelt:
10x-x=9,999-0,9999
9x=8,9991
#7
Jeg kan godt følge dit eksempel med at tage en omegnen omkring 1. Ligesom man kan definere pi og e som summen af nogen tal, kan man også definere 1 som summen af i=1 til uendeligt af 9*10^-i.
Problemet var at jeg tænkte, at man altid kan finde et tal der er tættere på 1 ligemeget hvor højt jeg talte i.
Jeg ville bare definere en uendelighed der voksede hurtigere end uendeligheden i eksemplet, og så var den skid slået...
Jeg kan godt følge dit eksempel med at tage en omegnen omkring 1. Ligesom man kan definere pi og e som summen af nogen tal, kan man også definere 1 som summen af i=1 til uendeligt af 9*10^-i.
Problemet var at jeg tænkte, at man altid kan finde et tal der er tættere på 1 ligemeget hvor højt jeg talte i.
Jeg ville bare definere en uendelighed der voksede hurtigere end uendeligheden i eksemplet, og så var den skid slået...
Wolly... min sætning, #1 og så dit bevis, viser alle det samme... 0,99999... = 1
tallet 0,99999... (dvs. 0 efterfulgt af uendeligt mange 9 taller som decimaler) kan skrives som 3 * 1/3 det er logisk for enhver... og det er også logisk for enhver at 3 tredjedele giver 1.
så hvis 0,9999... ikke er 1, hvad er så forskellen?
den 1^-(uendelig)
dvs. 0
tallet 0,99999... (dvs. 0 efterfulgt af uendeligt mange 9 taller som decimaler) kan skrives som 3 * 1/3 det er logisk for enhver... og det er også logisk for enhver at 3 tredjedele giver 1.
så hvis 0,9999... ikke er 1, hvad er så forskellen?
den 1^-(uendelig)
dvs. 0
#13:
Hastigheden hvormed der konvergeres er underordnet.
Sn = sum(1,n){9 x 10^-n} konvergerer mod 1,
det gør S'n = sum(1,n){2^-n} osse.
Det er 'kun' 0.9999... der virker 'ulogisk'
#9:
Nej, lim må man netop ikke bare flytte rundt på. Jeg troede din pointe var at 0 = f(0.9) = f(0.99) = f(0.999) osv. Og at du dermed ville slutte at siden lim(f(Sn)) = 0, så er f(lim(Sn)) = 0. Det kan du ikke umiddelbart.
#14:
Så spørg ham lige om forskellen mellem 0.999.. og 1. Eller bed ham om et tal der ligger mellem de to...
#10:
Grænseværdier er 'nyttige' i udvidelsen af de rationelle tal til de reelle.
Hastigheden hvormed der konvergeres er underordnet.
Sn = sum(1,n){9 x 10^-n} konvergerer mod 1,
det gør S'n = sum(1,n){2^-n} osse.
Det er 'kun' 0.9999... der virker 'ulogisk'
#9:
Nej, lim må man netop ikke bare flytte rundt på. Jeg troede din pointe var at 0 = f(0.9) = f(0.99) = f(0.999) osv. Og at du dermed ville slutte at siden lim(f(Sn)) = 0, så er f(lim(Sn)) = 0. Det kan du ikke umiddelbart.
#14:
Så spørg ham lige om forskellen mellem 0.999.. og 1. Eller bed ham om et tal der ligger mellem de to...
#10:
Grænseværdier er 'nyttige' i udvidelsen af de rationelle tal til de reelle.
Prøv:
x=0.999999...
y=x-1=-0.000.. uendelig mange nuller ..001
10y=-0.000.. uendelig mange nuller ..01
(uendelig minus 1 er stadig uendelig)
10y-y= -0.000.. uendelig mange nuller ..01- (-0.000.. uendelig mange nuller ..001)
9y= -0.000.. uendelig mange nuller ..009
y= -0.000.. uendelig mange nuller ..001
x=y+1=x=0.99999999...
x=0.999999...
y=x-1=-0.000.. uendelig mange nuller ..001
10y=-0.000.. uendelig mange nuller ..01
(uendelig minus 1 er stadig uendelig)
10y-y= -0.000.. uendelig mange nuller ..01- (-0.000.. uendelig mange nuller ..001)
9y= -0.000.. uendelig mange nuller ..009
y= -0.000.. uendelig mange nuller ..001
x=y+1=x=0.99999999...
Dette minder efterhånden om tråden med -1²
Jeg ville sq gerne have et klart svar fra en eller anden matematikprofessor, da jeg synes at dette er ved at blive lidt irriterende :-)
Jeg har gennemsøgt mine matematikbøger fra Uni, men synes ikke rigtig at kunne finde et svar! Måske man ikke må bruge de normale regneregler på periodiske tal?!?
Jeg synes egentligt at Lean havde en god pointe med hans ligning i #6
Jeg ville sq gerne have et klart svar fra en eller anden matematikprofessor, da jeg synes at dette er ved at blive lidt irriterende :-)
Jeg har gennemsøgt mine matematikbøger fra Uni, men synes ikke rigtig at kunne finde et svar! Måske man ikke må bruge de normale regneregler på periodiske tal?!?
Jeg synes egentligt at Lean havde en god pointe med hans ligning i #6
# 18: Det kan da godt være at det ikke er den fine måde at skrive det på matematisk, men ikke desto mindre er pointen rigtig.
# 19: Ja, Lean har helt ret.
# 16: du synes måske at for at to tal skal være forskellige så skal der ligge et tal mellem de to tal?? Men hvad er så 1/3=0.333...
# 19: Ja, Lean har helt ret.
# 16: du synes måske at for at to tal skal være forskellige så skal der ligge et tal mellem de to tal?? Men hvad er så 1/3=0.333...
#19:
Flg. er kendte og simple resultater fra Mat11 (Århus Uni):
Def:
En følge (Sn) kaldes konvergent med grænse S, hvis der for et vilkårligt e findes et m, således at:
|Sn - S| er mindre end e for alle n større end N
Def:
En række sum(n=1,inf){Rn} kaldes konvergent, hvis den tilsvarende afsnitsfølge (Sn), er konvergent. Afsnitsfølgen er defineret ved: Sm := sum(n=1,m){Rn}
Godt. Det burde være klart at følgen:
(Sn) := 0.9, 0.99, 0.999,... osv
er konvergent og at Sn -> 1 for n -> inf.
(Sn) ovenfor er osse klart afsnitfølge for summen:
sum(n=1,inf){9 * 10^-n}.
Altså er summen konvergent med grænse 1.
Det kan let bevises at grænseværdier for både rækker og følger er entydige.
Tilmed kan det vises at det er lovligt at skalere rækker, dvs:
sum(n=1,inf){k * Rn} = k * sum(n=1,inf){Rn}.
Det betyder at x = 0.999... => 10x = 9.999...
Endelig kan det osse vises, at for konvergente rækker:
sum(n=1,inf){Rn} = R og
sum(n=1,inf){Sn} = S,
så gælder at sum(n=1,inf){Rn + Sn} = R + S.
Det betyder at 10x - x er konvergent og veldefineret.
Alt kan læses i Tage Gutmann Madsens klassiker: Matematisk Analyse, Kbh Uni; bind II, kap X.5 og X.6
Lean laver en cirkel-slutning: Han slutter at f(0.999...) = 0. Men det er f(x) per def. for x != 1.
Så hans argument koger ned til (nu må Lean sige til, hvis jeg lægger ordene i hans mund), at "f(1) = 1 og f(0.999...) = 0, derfor er 1 != 0.999...".
MEN det beviser intet, da f(0.999...) = 0 forudsætter per def. af f(x) at 0.999... != 1. Altså viser Lean, at hvis 0.999... != 1 så er 0.999... != 1. Og det er jo ikke overraskende ;)
#20:
Nej. Pointen er forkert. Det giver ikke mening at skrive:
[=-0.000.. uendelig mange nuller ..001]
Hvis der er uendelig mange nuller, så kan du jo per definition ikke terminere med et 1.
Det er ikke noget jeg finder på, at hvis x != y så findes der et tal mellem dem. Det er en egenskab ved både de rationelle og de ikke-rationelle tal! Check Walter Rudin: Principles of Math. Analysis, kap 1.
Sagt på frækt "matematik'sk" så ligger både de rationelle og ikke-rationelle tal overalt tæt i R. Så ikke bare findes der et tal, der findes både en brøk og et ikke-rationelt tal mellem to vilkårlige forskelle reelle tal!
Ja, 1/3 = 0.333... Det følger faktisk af de ovenst. regne-regler samt at 0.999... = 1!
Flg. er kendte og simple resultater fra Mat11 (Århus Uni):
Def:
En følge (Sn) kaldes konvergent med grænse S, hvis der for et vilkårligt e findes et m, således at:
|Sn - S| er mindre end e for alle n større end N
Def:
En række sum(n=1,inf){Rn} kaldes konvergent, hvis den tilsvarende afsnitsfølge (Sn), er konvergent. Afsnitsfølgen er defineret ved: Sm := sum(n=1,m){Rn}
Godt. Det burde være klart at følgen:
(Sn) := 0.9, 0.99, 0.999,... osv
er konvergent og at Sn -> 1 for n -> inf.
(Sn) ovenfor er osse klart afsnitfølge for summen:
sum(n=1,inf){9 * 10^-n}.
Altså er summen konvergent med grænse 1.
Det kan let bevises at grænseværdier for både rækker og følger er entydige.
Tilmed kan det vises at det er lovligt at skalere rækker, dvs:
sum(n=1,inf){k * Rn} = k * sum(n=1,inf){Rn}.
Det betyder at x = 0.999... => 10x = 9.999...
Endelig kan det osse vises, at for konvergente rækker:
sum(n=1,inf){Rn} = R og
sum(n=1,inf){Sn} = S,
så gælder at sum(n=1,inf){Rn + Sn} = R + S.
Det betyder at 10x - x er konvergent og veldefineret.
Alt kan læses i Tage Gutmann Madsens klassiker: Matematisk Analyse, Kbh Uni; bind II, kap X.5 og X.6
Lean laver en cirkel-slutning: Han slutter at f(0.999...) = 0. Men det er f(x) per def. for x != 1.
Så hans argument koger ned til (nu må Lean sige til, hvis jeg lægger ordene i hans mund), at "f(1) = 1 og f(0.999...) = 0, derfor er 1 != 0.999...".
MEN det beviser intet, da f(0.999...) = 0 forudsætter per def. af f(x) at 0.999... != 1. Altså viser Lean, at hvis 0.999... != 1 så er 0.999... != 1. Og det er jo ikke overraskende ;)
#20:
Nej. Pointen er forkert. Det giver ikke mening at skrive:
[=-0.000.. uendelig mange nuller ..001]
Hvis der er uendelig mange nuller, så kan du jo per definition ikke terminere med et 1.
Det er ikke noget jeg finder på, at hvis x != y så findes der et tal mellem dem. Det er en egenskab ved både de rationelle og de ikke-rationelle tal! Check Walter Rudin: Principles of Math. Analysis, kap 1.
Sagt på frækt "matematik'sk" så ligger både de rationelle og ikke-rationelle tal overalt tæt i R. Så ikke bare findes der et tal, der findes både en brøk og et ikke-rationelt tal mellem to vilkårlige forskelle reelle tal!
Ja, 1/3 = 0.333... Det følger faktisk af de ovenst. regne-regler samt at 0.999... = 1!
#19
Du har ret i at retorikken godt kan virke som det samme. Men der er en stor forskel, og det er at i denne tråd har vi en chance for at blive enige, da det ikke handler om definitioner - men om forståelse.
Personligt har jeg det forhold til matematikken at det er et værktøj.
Hvis man finder på noget 'nyt' som ikke er et værktøj eller ikke kan bruges til at finde på nye værktøjer er jeg ikke interesseret.
Så hvis der ikke er nogen forskel i at bruge 0.999... og 1, så er tallene ens.
Hvordan man lige får drejet sit hoved rundt om emnet og overbeviser sig selv om at det så vitterligt ikke kan bruges til noget, kræver selvfølgelig at man bliver enig om nogle definitioner, så man kan diskutere problemet med andre.
Nå, var der nogen der ville diskutere elliptiske kurver?
Du har ret i at retorikken godt kan virke som det samme. Men der er en stor forskel, og det er at i denne tråd har vi en chance for at blive enige, da det ikke handler om definitioner - men om forståelse.
Personligt har jeg det forhold til matematikken at det er et værktøj.
Hvis man finder på noget 'nyt' som ikke er et værktøj eller ikke kan bruges til at finde på nye værktøjer er jeg ikke interesseret.
Så hvis der ikke er nogen forskel i at bruge 0.999... og 1, så er tallene ens.
Hvordan man lige får drejet sit hoved rundt om emnet og overbeviser sig selv om at det så vitterligt ikke kan bruges til noget, kræver selvfølgelig at man bliver enig om nogle definitioner, så man kan diskutere problemet med andre.
Nå, var der nogen der ville diskutere elliptiske kurver?
#1 @Kunisch:
Uden at være uddannet på et andet niveau end det gymnasielle, vil jeg alligevel tillade mig at komme med min forklaring.
Uagtet hvad i siger så er der forskel på tallene; at hverken menneske eller maskine er i stand til at regne med denne retfærdiger ikke argumentet at de to tal måtte være ligme hinanden.
Problemet er at du ved at løse din ligning bliver nød til at begrænse antallet af decimaler, og når dette sker vil der være et decimal mere på hvad 1x svarer til, end hvad 10x svarer til - simpelthen fordi x i det sidste tilfælde er blevet multipliceret med 10, hvorfor du må rykke kommaet, såfremt at værdien skal svare overens med 1x.
Det er naturligvis ikke nødvendigt at begrænse, men rent logisk vil 1x være et uendeligt antal decimaler + 1 - hvor 10x blot vil være et uendeligt antal decimaler.
Dette er også problemet der gør sig gældende når du så skal subtrahere, du trækker et decimal for meget fra - og dette gør at du i dit resultat får en nærmest uvæsentlig forskel, men dog eksisterende.
Når 1x = 0,999 er 10x = 9,99, hvorfor 10x-1x = 8.991, hvilket - divideret med 9 - giver 0,999!
Uden at være uddannet på et andet niveau end det gymnasielle, vil jeg alligevel tillade mig at komme med min forklaring.
Uagtet hvad i siger så er der forskel på tallene; at hverken menneske eller maskine er i stand til at regne med denne retfærdiger ikke argumentet at de to tal måtte være ligme hinanden.
Problemet er at du ved at løse din ligning bliver nød til at begrænse antallet af decimaler, og når dette sker vil der være et decimal mere på hvad 1x svarer til, end hvad 10x svarer til - simpelthen fordi x i det sidste tilfælde er blevet multipliceret med 10, hvorfor du må rykke kommaet, såfremt at værdien skal svare overens med 1x.
Det er naturligvis ikke nødvendigt at begrænse, men rent logisk vil 1x være et uendeligt antal decimaler + 1 - hvor 10x blot vil være et uendeligt antal decimaler.
Dette er også problemet der gør sig gældende når du så skal subtrahere, du trækker et decimal for meget fra - og dette gør at du i dit resultat får en nærmest uvæsentlig forskel, men dog eksisterende.
Når 1x = 0,999 er 10x = 9,99, hvorfor 10x-1x = 8.991, hvilket - divideret med 9 - giver 0,999!
#24:
[Problemet er at du ved at løse din ligning bliver nød til at begrænse antallet af decimaler]
Det er IKKE et problem. Se #21 og regnereglen for addition af uendelige rækker.
[rent logisk vil 1x være et uendeligt antal decimaler + 1 - hvor 10x blot vil være et uendeligt antal decimaler]
Forkert! Der kan let laves en 1 til 1 afbildning af 'uendelig + 1' over i 'uendelig'. Det kendes som Hilberts Hotel.
Faktisk kan der osse laves en 1 til 1 afbildning af N x N -> N.
Dvs selv om du substituerer hvert eneste 9-tal i 0.999... med tælleligt uendeligt mange 9-taller så er og bliver det det samme tal!
Ifølge dit argument vil (10 * Pi) - Pi != 9 Pi. Og tilsvarende vil (10 * e) - e != 9 e (hvor e = den naturlige logaritmes grundtal). Og det burde vi vist let kunne blive enige om er noget rod... ;)
Generelt findes der MASSER af eksempler hvor intuitionen er forkert mht uendeligheder.
[Problemet er at du ved at løse din ligning bliver nød til at begrænse antallet af decimaler]
Det er IKKE et problem. Se #21 og regnereglen for addition af uendelige rækker.
[rent logisk vil 1x være et uendeligt antal decimaler + 1 - hvor 10x blot vil være et uendeligt antal decimaler]
Forkert! Der kan let laves en 1 til 1 afbildning af 'uendelig + 1' over i 'uendelig'. Det kendes som Hilberts Hotel.
Faktisk kan der osse laves en 1 til 1 afbildning af N x N -> N.
Dvs selv om du substituerer hvert eneste 9-tal i 0.999... med tælleligt uendeligt mange 9-taller så er og bliver det det samme tal!
Ifølge dit argument vil (10 * Pi) - Pi != 9 Pi. Og tilsvarende vil (10 * e) - e != 9 e (hvor e = den naturlige logaritmes grundtal). Og det burde vi vist let kunne blive enige om er noget rod... ;)
Generelt findes der MASSER af eksempler hvor intuitionen er forkert mht uendeligheder.
#21 Pally:
Og på almindelig dansk? Det hjælper ikke meget, at du kaster dig ud i en alenlang forklaring på et problem, stillet af en person med en ikke-matematisk baggrund. Hvis du ikke kan koge det ned på et forståeligt niveau, så hjælper det ikke. Hellere en forkert forklaring, der er forståelig, end en korrekt forklaring, der er uforståelig.
Problemet ligger i, at man har to tal, der for alle praktiske hensyn "rører" hinanden, hvis man afbilleder dem. Der er ingen tal, der ligger imellem de to tal, og derfor siger vores intuition os, at de vil være ens. Og for alle praktiske hensyn, er det også tilfældet, men matematik er ikke praksis men teori, og tallene er derfor ikke ens, uanset hvor meget man så en fusker rundt med dem.
Og på almindelig dansk? Det hjælper ikke meget, at du kaster dig ud i en alenlang forklaring på et problem, stillet af en person med en ikke-matematisk baggrund. Hvis du ikke kan koge det ned på et forståeligt niveau, så hjælper det ikke. Hellere en forkert forklaring, der er forståelig, end en korrekt forklaring, der er uforståelig.
Problemet ligger i, at man har to tal, der for alle praktiske hensyn "rører" hinanden, hvis man afbilleder dem. Der er ingen tal, der ligger imellem de to tal, og derfor siger vores intuition os, at de vil være ens. Og for alle praktiske hensyn, er det også tilfældet, men matematik er ikke praksis men teori, og tallene er derfor ikke ens, uanset hvor meget man så en fusker rundt med dem.
Johnny Bravo - For almindelige dødelige: De to tal er helt ens - sjovt, ikke?
For matematikere, se Pally's indlæg.
For matematikere, se Pally's indlæg.
#26:
[Og på almindelig dansk]
Regnerierne i indlæg #1 er gode nok, de kan bevises rent matematisk. Er det tydeligt nok?
[Hellere en forkert forklaring, der er forståelig, end en korrekt forklaring, der er uforståelig]
Er det citeret fra undervisningsministeriet i Afganistan???
[...men matematik er ikke praksis men teori, og tallene er derfor ikke ens...]
Bravo Johnny. Du evnede at lave et argument der er både uforståeligt og forkert. ;)
[Og på almindelig dansk]
Regnerierne i indlæg #1 er gode nok, de kan bevises rent matematisk. Er det tydeligt nok?
[Hellere en forkert forklaring, der er forståelig, end en korrekt forklaring, der er uforståelig]
Er det citeret fra undervisningsministeriet i Afganistan???
[...men matematik er ikke praksis men teori, og tallene er derfor ikke ens...]
Bravo Johnny. Du evnede at lave et argument der er både uforståeligt og forkert. ;)
Super forklaring Pally, du har givet en rigtig god forklaring på problematikken. Jeg takker mange gange, for at ikke denne tråd også, blev på 200 posts hvor folks (jeg selv inkluderet) begrænsede matematiske viden, skulle fylde den ene post efter den anden :-)
Men jeg kan sq ikke lade være med at råbe et NØRD efter dig :-)
Men jeg kan sq ikke lade være med at råbe et NØRD efter dig :-)
#19
ang. -2^2 spurgte jeg min mat. lærer på DTU, Professor Tom Høholdt, som siger at det er vedtaget at -2^2 = -4, da - tegnet læses til sidst... derfor er det Maple og lign. som regner rigtigt, mens excel regner forkert.
#17 din mat. lærer har forhåbentlig forsøgt at forklare dig at begrebet uendelig ikke giver nogen mening inden for matematikken, og 0,00000.....00001 giver heller ingen mening.
det tal vi prøver at skrive, er lig med 0.
ang. -2^2 spurgte jeg min mat. lærer på DTU, Professor Tom Høholdt, som siger at det er vedtaget at -2^2 = -4, da - tegnet læses til sidst... derfor er det Maple og lign. som regner rigtigt, mens excel regner forkert.
#17 din mat. lærer har forhåbentlig forsøgt at forklare dig at begrebet uendelig ikke giver nogen mening inden for matematikken, og 0,00000.....00001 giver heller ingen mening.
det tal vi prøver at skrive, er lig med 0.
amokk - " din mat. lærer har forhåbentlig forsøgt at forklare dig at begrebet uendelig ikke giver nogen mening inden for matematikken"
Jaeh... Lige bortset fra når du i matematisk analyse 3 begynder at beskæftige dig med uendelige rækker... :)
Jaeh... Lige bortset fra når du i matematisk analyse 3 begynder at beskæftige dig med uendelige rækker... :)
problemet med "tallet" 0.9999... er at det ikke eksisterer, det er ikke noget tal - tallet er ren fantasi. For alle tal er et svar på en udregning selv irationelle tal som pi og kvadratrod 2: pi=diameter/omkreds og kvadratrod 2=x^2.
Bevis: alle periodiske tal er brøker, der består af følgende syntax 0.aaa...=a/b), hvor tallene a og b har lige mange cifre og b udelukkende består af 9-taller.
Ex: 1/9=0.111... og 2/9=0.222... og 01/99=0.010101... 64/99=0.646464... og 123456789/999999999=0.123456789123456789123...
Hvis vi prøver på at lave tallet 0.999... må vi derfor sige: 9/9 hvilket giver 1. Da der ikke eksisterer noget regnestykke der giver tallet, betyder det at tallet ikke eksisterer.
endnu et eksempel på at det ikke eksisterer:
x=0.999...
1-x=1*10^uendelig=0.000...001
og som mange af jer også selv har påpeget kan man ikke have et tal 0.00... uendeligt mange nuller og så terminere uendeligt med 1
sagt på almindelig dansk:
0.999... er noget værre vrøvl, det er der ikke noget der hedder uanset om man så kan forestille sig at tallet eksisterer eller ej.
Bevis: alle periodiske tal er brøker, der består af følgende syntax 0.aaa...=a/b), hvor tallene a og b har lige mange cifre og b udelukkende består af 9-taller.
Ex: 1/9=0.111... og 2/9=0.222... og 01/99=0.010101... 64/99=0.646464... og 123456789/999999999=0.123456789123456789123...
Hvis vi prøver på at lave tallet 0.999... må vi derfor sige: 9/9 hvilket giver 1. Da der ikke eksisterer noget regnestykke der giver tallet, betyder det at tallet ikke eksisterer.
endnu et eksempel på at det ikke eksisterer:
x=0.999...
1-x=1*10^uendelig=0.000...001
og som mange af jer også selv har påpeget kan man ikke have et tal 0.00... uendeligt mange nuller og så terminere uendeligt med 1
sagt på almindelig dansk:
0.999... er noget værre vrøvl, det er der ikke noget der hedder uanset om man så kan forestille sig at tallet eksisterer eller ej.
#36 sådan er det jo når vi skriver tal på en måde som ikke kan gøres med vores talsystem
hvis jeg skriver 1/3 er ingen i tvivl om hvilket tal det er, men det kan ikke skrives med 10 tals systemet, så vi laver en tilnærmelse som hedder 0.3333333333333333333333....
hvis jeg skriver 3/3 eller 3*(1/3) det noget andet, for der kan vi sagtens skrive det som 1
mens 3*0.3333333333333333333333.... logisk set giver 0.99999999999999999....
ergo må vi konstatere at 0.999999999999999... = 1, og at det er måden man opskriver det på, som gør forskellen på tallets udseende
hvis jeg skriver 1/3 er ingen i tvivl om hvilket tal det er, men det kan ikke skrives med 10 tals systemet, så vi laver en tilnærmelse som hedder 0.3333333333333333333333....
hvis jeg skriver 3/3 eller 3*(1/3) det noget andet, for der kan vi sagtens skrive det som 1
mens 3*0.3333333333333333333333.... logisk set giver 0.99999999999999999....
ergo må vi konstatere at 0.999999999999999... = 1, og at det er måden man opskriver det på, som gør forskellen på tallets udseende
#36:
[For alle tal er et svar på en udregning]
De reelle tal defineres traditionelt ud fra Dedekind Snit (Google: Dedekind + Cut) eller Cauchy følger (Google: Cauchy + Sequence). Din 'definition' er ingen af delene.
[Hvis vi prøver på at lave tallet 0.999... må vi derfor sige: 9/9 hvilket giver 1.]
Øh? a = 9, b = 9 opfylder da præcis din påstand og giver faktisk netop at 0.aaaa = a/b = 1 for a, b = 9. :)
[For alle tal er et svar på en udregning]
De reelle tal defineres traditionelt ud fra Dedekind Snit (Google: Dedekind + Cut) eller Cauchy følger (Google: Cauchy + Sequence). Din 'definition' er ingen af delene.
[Hvis vi prøver på at lave tallet 0.999... må vi derfor sige: 9/9 hvilket giver 1.]
Øh? a = 9, b = 9 opfylder da præcis din påstand og giver faktisk netop at 0.aaaa = a/b = 1 for a, b = 9. :)
Sikken en masse interessant sludder.
#21 har mest ret, men jeg tror ikke, at spørgeren kan bruge svaret til ret meget.
Lad mig vende tilbage til det oprindelige spørgsmål:
Hvor ligger fejlen?
Ja, faktisk har du to fejl. Din første fejl består i, at du antager, at der er en fejl (dvs at 0,999...=1 er et "forkert" resultat). Det ville være mere frugtbart at spørge "hvad er 0,999... for en størrelse, og er den sammenlignelig med og/eller forskellig fra 1?".
Dermed ville du også undgå din anden fejl, som er, at du ikke er tilstrækkelig klar i din definition af de i regnestykket indgående størrelser. Du skriver "0,999...", "10 x 0,999..." og antager uden videre, at sådanne størrelser og regneoperationer er veldefinerede.
Hvad mener du egentlig med "0,999..."? Et nul og et komma efterfulgt af uendelig mange nitaller. Vi må nødvendigvis lægge titalsystemt til grund for fortolkningen af det, du skriver.
87,45 betyder jo 8x10 + 7x1 + 4x1/10 + 5x1/100.
Tilsvarende må vi fortolke 0,999... som
9x1/10 + 9x1/100 + 9x1/1000 + ...
Dette er en såkaldt uendelig række, som man godt kan definere på en konsistent måde. Der findes masser af matematik om uendelige rækker. Med den kan man bl.a. vise, at ovenstående række er konvergent (den har en endelig sum), at summen er lig med 1.
Hvis man ikke har en matematisk metode til håndtering af uendelige rækker, så bør man ikke forsøge at tillægge dem egenskaber som "er forskellig fra 1, ligegyldig hvad I siger" og man bør heller ikke forsøge at regne med dem, som om de var tal.
Nogle vil sikkert fortsat hævde, at 0,999... ikke er 1, og andre vil hævde, at en sum af uendelig mange positive størrelser er uendelig (i så fald vil 0,999... være lig uendelig!). Fælles for dem er, at de ikke ved, hvad de snakker om.
Men man bliver jo heldigvis klogere af at stille spørgsmål.
#21 har mest ret, men jeg tror ikke, at spørgeren kan bruge svaret til ret meget.
Lad mig vende tilbage til det oprindelige spørgsmål:
Hvor ligger fejlen?
Ja, faktisk har du to fejl. Din første fejl består i, at du antager, at der er en fejl (dvs at 0,999...=1 er et "forkert" resultat). Det ville være mere frugtbart at spørge "hvad er 0,999... for en størrelse, og er den sammenlignelig med og/eller forskellig fra 1?".
Dermed ville du også undgå din anden fejl, som er, at du ikke er tilstrækkelig klar i din definition af de i regnestykket indgående størrelser. Du skriver "0,999...", "10 x 0,999..." og antager uden videre, at sådanne størrelser og regneoperationer er veldefinerede.
Hvad mener du egentlig med "0,999..."? Et nul og et komma efterfulgt af uendelig mange nitaller. Vi må nødvendigvis lægge titalsystemt til grund for fortolkningen af det, du skriver.
87,45 betyder jo 8x10 + 7x1 + 4x1/10 + 5x1/100.
Tilsvarende må vi fortolke 0,999... som
9x1/10 + 9x1/100 + 9x1/1000 + ...
Dette er en såkaldt uendelig række, som man godt kan definere på en konsistent måde. Der findes masser af matematik om uendelige rækker. Med den kan man bl.a. vise, at ovenstående række er konvergent (den har en endelig sum), at summen er lig med 1.
Hvis man ikke har en matematisk metode til håndtering af uendelige rækker, så bør man ikke forsøge at tillægge dem egenskaber som "er forskellig fra 1, ligegyldig hvad I siger" og man bør heller ikke forsøge at regne med dem, som om de var tal.
Nogle vil sikkert fortsat hævde, at 0,999... ikke er 1, og andre vil hævde, at en sum af uendelig mange positive størrelser er uendelig (i så fald vil 0,999... være lig uendelig!). Fælles for dem er, at de ikke ved, hvad de snakker om.
Men man bliver jo heldigvis klogere af at stille spørgsmål.
Opret dig som bruger i dag
Det er gratis, og du binder dig ikke til noget.
Når du er oprettet som bruger, får du adgang til en lang række af sidens andre muligheder, såsom at udforme siden efter eget ønske og deltage i diskussionerne.
- Forside
- ⟨
- Forum
- ⟨
- Tagwall
Gå til bund